Trigonométrie Exemples

$(\sec (x) + \csc (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x)) + \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x))$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x))$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x))$

Étape 3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x))$

Étape 3.1.3

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x))$

Étape 3.1.4

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x))$

Étape 3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\sin (x)}$ dans le numérateur.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)$

Étape 3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)$

Étape 3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ de $0$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$- \tan (x) + \cot (x)$