Trigonométrie Exemples

$\tan (x) (\csc (x) - \sin (x)) = \cos (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (x) (\csc (x) - \sin (x))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\csc (x) - \sin (x))$

Étape 2.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Étape 2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 2.6

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Étape 2.6.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.6.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.6.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 2.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Étape 2.9.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (x) (\csc (x) - \sin (x)) = \cos (x)$ est une identité