Trigonométrie Exemples

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Étape 2

Factorisez.

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Étape 2.1

Réécrivez $\cos^{4} (x)$ comme ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - \sin^{4} (x)$

Étape 2.2

Réécrivez $\sin^{4} (x)$ comme ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - {(\sin^{2} (x))}^{2}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos^{2} (x)$ et $b = \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réorganisez les termes.

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 2.4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 2.4.3

Multipliez $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 2.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$(\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Étape 4.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 4.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

${\cos (x)}^{1} \cos (x) + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Étape 4.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

${\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Étape 4.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x))$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 4.1.4

Multipliez $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 4.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))$

Étape 4.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})$

Étape 4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) - {\sin (x)}^{2}$

Étape 4.2

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 4.2.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $- 1$ .

${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot \cos (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{2}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $\cos (x) \sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

${\cos (x)}^{2} + 0 - {\sin (x)}^{2}$

Étape 4.3

Additionnez ${\cos (x)}^{2}$ et $0$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 - \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 6

Soustrayez ${\sin (x)}^{2}$ de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$ est une identité