Trigonométrie Exemples

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)} = 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 2.1.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2.1.8

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.9.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.1.9.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.1.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 2.1.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.10.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Étape 2.1.10.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Étape 2.1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Étape 2.1.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\csc (x)}{\sin (x)} - \frac{\cot (x)}{\tan (x)} = 1$ est une identité