Trigonométrie Exemples

$\frac{\sec (x)}{\tan (x)} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)} = \cos (x) \cot (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sec (x)}{\tan (x)} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)}$

Étape 2.5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 2.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 2.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))$

Étape 2.8

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sin (x)} - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1})$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Étape 3

Écrivez $- \sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1}$

Étape 4

Additionnez des fractions.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{- \sin (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{- \sin (x)}{1}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 5

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ comme $\cos (x) \cot (x)$ .

$\cos (x) \cot (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec (x)}{\tan (x)} - \frac{\tan (x)}{\sec (x)} = \cos (x) \cot (x)$ est une identité