Trigonométrie Exemples

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2} = 25 + 25 \sin (2 x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2}$ comme $(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$ .

$(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Étape 2.2

Développez $(5 \sin (x) + 5 \cos (x)) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sin (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sin (x) (5 \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sin (x) (5 \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $5 \sin (x) (5 \sin (x))$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin (x) \sin (x) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$25 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$25 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 {\sin (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 5 \cos (x) (5 \sin (x)) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 5 \cos (x) (5 \cos (x))$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5 \cos (x) (5 \cos (x))$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 2.3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \sin (x) \cos (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $25 \sin (x) \cos (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Étape 2.3.3

Additionnez $25 \cos (x) \sin (x)$ et $25 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x) + 25 \cos^{2} (x)$

Étape 2.4

Déplacez $25 \cos^{2} (x)$ .

$25 \sin^{2} (x) + 25 \cos^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.5

Factorisez $25$ à partir de $25 \sin^{2} (x)$ .

$25 (\sin^{2} (x)) + 25 \cos^{2} (x) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.6

Factorisez $25$ à partir de $25 \cos^{2} (x)$ .

$25 (\sin^{2} (x)) + 25 (\cos^{2} (x)) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.7

Factorisez $25$ à partir de $25 (\sin^{2} (x)) + 25 (\cos^{2} (x))$ .

$25 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.9

Multipliez $25$ par $1$ .

$25 + 50 \cos (x) \sin (x)$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $25$ à partir de $25 + 50 \cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$25 (1) + 50 \cos (x) \sin (x)$

Étape 3.1.2

Factorisez $25$ à partir de $50 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 (1) + 25 (2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 3.1.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (1) + 25 (2 \cos (x) \sin (x))$ .

$25 (1 + 2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$25 (1 + \sin (x) (2 \cos (x)))$

Étape 3.3

Supprimez les parenthèses.

$25 (1 + \sin (x) \cdot 2 \cos (x))$

Étape 3.4

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$25 (1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Étape 3.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$25 (1 + \sin (2 x))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 \cdot 1 + 25 \sin (2 x)$

Étape 4.2

Multipliez $25$ par $1$ .

$25 + 25 \sin (2 x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

${(5 \sin (x) + 5 \cos (x))}^{2} = 25 + 25 \sin (2 x)$ est une identité