Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (a - b)}{\cos (a) \sin (b)} = \tan (a) + \cot (b)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cos (a - b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 3

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\tan (a) + \cot (b)$

Étape 4

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 4.1

Écrivez $\tan (a)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cot (b)$

Étape 4.2

Écrivez $\cot (b)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Étape 5

Additionnez des fractions.

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Étape 5.2

Pour écrire $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Étape 5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (a) \sin (b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ par $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ par $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (a)}{\sin (b) \cos (a)}$

Étape 5.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (b) \cos (a)$ .

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (a) \sin (b) + \cos (b) \cos (a)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \sin (b)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (a - b)}{\cos (a) \sin (b)} = \tan (a) + \cot (b)$ est une identité