Trigonométrie Exemples

$\sec (\frac{- 11 π}{12})$

Étape 1

Remplacez $\sec (\frac{- 11 π}{12})$ par une expression équivalente $\frac{1}{\cos (\frac{- 11 π}{12})}$ en utilisant les identités fondamentales.

$\frac{1}{\cos (\frac{- 11 π}{12})}$

Étape 2

Utilisez une formule de somme ou de différence sur le dénominateur.

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Étape 2.1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $\frac{- 11 π}{12}$ peut être divisé en $\frac{π}{3} - \frac{5 π}{4}$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3} - \frac{5 π}{4})}$

Étape 2.2

Utilisez la formule de la différence pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{\cos (\frac{π}{3}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4})) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.4.4

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{5 π}{4})}$

Étape 2.4.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))}$

Étape 2.4.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Étape 2.4.8

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 2.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.8.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.4.8.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $1$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{4}{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ par $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{(- \sqrt{2} - \sqrt{6}) (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Étape 3.6

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez

$\frac{4 (- \sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$

Étape 3.8.2

Réécrivez $- 1 \cdot (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ comme $- (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$- (- \sqrt{2} + \sqrt{6})$

Étape 3.9

Appliquez la propriété distributive.

$- - \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Étape 3.10

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{2} - \sqrt{6}$

Étape 3.10.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{6}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{2} - \sqrt{6}$

Forme décimale :

$- 1.03527618 \dots$