Trigonométrie Exemples

$\tan (22.5)$

Étape 1

Pour convertir des degrés en radians, multipliez par $\frac{π}{180 °}$ , car un cercle entier fait $360 °$ ou $2 π$ radians.

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (22.5)$ est $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $22.5$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\tan (\frac{45}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}$ .

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.9

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.10

Multipliez $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.12

Simplifiez

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 (\frac{2 - \sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.14.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 (\frac{2 - \sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.14.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.15

Associez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.2

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 2.4.16.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.16.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.16.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.16.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2$ et $2$ .

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Étape 2.4.16.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.16.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.4.4.4

Divisez $\sqrt{2} - 1$ par $1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.5

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.16.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.17

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4.18

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 3

Associez $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ et $\frac{π}{180}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} π}{180}$ radians