Trigonométrie Exemples

$\cos (105)$

Étape 1

Pour convertir des degrés en radians, multipliez par $\frac{π}{180 °}$ , car un cercle entier fait $360 °$ ou $2 π$ radians.

Étape 2

La valeur exacte de $\cos (105)$ est $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (75) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \cos (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45)) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 3

Multipliez $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{π}{180}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{π}{180}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{180 \cdot 4}$ radians

Étape 3.2

Multipliez $180$ par $4$ .

$- \frac{π (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{720}$ radians