Trigonométrie Exemples

$\sec^{4} (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $\sec^{4} (x)$ comme ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{4} (x)$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan^{4} (x)$ comme ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Étape 1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) = 2 \cdot \sec^{2} (x) \cdot \tan^{2} (x)$

Étape 1.4

Réécrivez le polynôme.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - 2 \cdot \sec^{2} (x) \cdot \tan^{2} (x) + {(\tan^{2} (x))}^{2}$

Étape 1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = \sec^{2} (x)$ et $b = \tan^{2} (x)$ .

${(\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}^{2}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sec (x)$ et $b = \tan (x)$ .

${((\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)))}^{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de produit à $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ .

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2} {(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$