Trigonométrie Exemples

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ et $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Opposé : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Adjacent : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2^{1}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

Étape 2.9.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{2}}$

Étape 2.9.3

Divisez $2$ par $2$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.9.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$

Étape 4

Divisez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.70710678$