Trigonométrie Exemples

$4 - 4 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 4$ et $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Étape 4.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Étape 4.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{- 4}{4}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = - \frac{π}{4}$ et $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$