Trigonométrie Exemples

$\tan (105)$

Étape 1

Pour convertir des degrés en radians, multipliez par $\frac{π}{180 °}$ , car un cercle entier fait $360 °$ ou $2 π$ radians.

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (105)$ est $- 2 - \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$- \tan (75) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \tan (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.4

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.5

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.6

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.7

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8

Simplifiez $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Étape 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 2.8.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.1.2

Associez.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.8.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.7

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.9

Simplifiez

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.10.2

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.10.3

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.11

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.12

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.13.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.14

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 2.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.14.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$- (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.15

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 2.8.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(- 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$ radians

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \frac{π}{180} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radians

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radians

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $180$ .

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radians

Étape 4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radians

Étape 4.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$ radians

Étape 5

Associez $\frac{π}{180}$ et $\sqrt{3}$ .

$- 1 \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ radians

Étape 6

Réécrivez $- 1 \frac{π}{90}$ comme $- \frac{π}{90}$ .

$- \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$ radians