Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 6.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Développez $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}$

Étape 7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Étape 8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 9.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 9.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 9.1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Regardez maintenant le côté droit de l’équation.

$\sec (x) + \tan (x)$

Étape 11

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 11.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Étape 11.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$ est une identité