Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x)$

Étape 2

Écrivez $\tan (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1}$

Étape 3

Additionnez des fractions.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{\tan (x)}{1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\tan (x)}{1}$ par $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Étape 4

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

$\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

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Étape 5.1

Réorganisez les termes.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1}{\tan (x)}$

Étape 5.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 6.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\tan (x)}$

Étape 6.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 7.2

Associez.

$\frac{1^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et ${\cos (x)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $1^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 7.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ comme $\frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \frac{1}{\sin (x) \cos (x)}$ est une identité