Trigonométrie Exemples

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3

Additionnez des fractions.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ par $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ comme $\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ est une identité