Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{5 π}{6})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{3 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 π}{6})$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{5 π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\cos (\frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2})$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\cos (\frac{3 π \cdot 3}{12} - \frac{5 π \cdot 2}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{3 π \cdot 3 - 5 π \cdot 2}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\cos (\frac{9 π - 5 π \cdot 2}{12})$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\cos (\frac{9 π - 10 π}{12})$

Étape 5.3

Soustrayez $10 π$ de $9 π$ .

$\cos (\frac{- π}{12})$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (- \frac{π}{12})$

Étape 7

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{23 π}{12})$

Étape 8

La valeur exacte de $\cos (\frac{23 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 8.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{12})$

Étape 8.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 8.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 8.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 8.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 8.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 8.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 8.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 8.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.96592582 \dots$