Trigonométrie Exemples

$(1 - \cos (x)) (\csc (x) + \cot (x))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(1 - \cos (x)) (\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x))$

Étape 1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(1 - \cos (x)) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2

Développez $(1 - \cos (x)) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 3.1.4.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Additionnez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Étape 6.2.4

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x)$