Trigonométrie Exemples

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \sec (x)) \tan (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$ par $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{(1 + \sec (x)) \tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$ par $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{(1 + \sec (x)) \tan (x)} + \frac{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sec (x)) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))} + \frac{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\tan (x)}^{1 + 1} + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.2

Développez $(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 (1 + \sec (x)) + \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3.1.4.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.3.2

Additionnez $\sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + 2 \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.5

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x) + 2 \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.6

Factorisez $2 \sec (x)$ à partir de $2 \sec^{2} (x) + 2 \sec (x)$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $2 \sec (x)$ à partir de $2 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.6.2

Factorisez $2 \sec (x)$ à partir de $2 \sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x) (1)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 5.6.3

Factorisez $2 \sec (x)$ à partir de $2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x) (1)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x) + 1)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $\sec (x) + 1$ et $1 + \sec (x)$ .

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 9

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 12

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{2}{1} \csc (x)$

Étape 13

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \csc (x)$