Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} \sec (2 x) = 2$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \sec (2 x) = 2$ par $\sqrt{3}$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \sec (2 x) = 2$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sec (2 x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \sec (2 x)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\sec (2 x)$ par $1$ .

$\sec (2 x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.3.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$2 x = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 5

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.1.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 6.1.5

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$2 x = \frac{11 π}{6}$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{11 π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{11 π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{11 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{11 π}{12}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sec (2 x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8

La période de la fonction $\sec (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$