Trigonométrie Exemples

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) = 8 \tan (x)$

Étape 1

Soustrayez $8 \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $4 \tan (x)$ à partir de $4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4 \tan (x)$ à partir de $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 8 \tan (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 \tan (x)$ à partir de $- 8 \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $4 \tan (x)$ à partir de $4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2$ .

$4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\sec^{2} (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sec^{2} (x) - 2$ égal à $0$ .

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sec^{2} (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sec^{2} (x) = 2$

Étape 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Étape 5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Étape 5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 5.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 5.2.5

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Étape 5.2.5.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Étape 5.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.5.2.1

La valeur exacte de $arcsec (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 5.2.5.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.5.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.2.5.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.5.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.2.5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 5.2.5.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 5.2.5.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 5.2.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.5.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.6

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Étape 5.2.6.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Étape 5.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.6.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- \sqrt{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.6.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.6.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 5.2.6.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 5.2.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 5.2.6.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 5.2.6.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 5.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez $π n$ et $π + π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$