Trigonométrie Exemples

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$

Étape 1

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ comme $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.2

Développez $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Ajoutez des parenthèses.

$4 \cos^{2} (x) + 2 (\cos (x) (2 \sin (x))) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.3

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $2 \sin (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.5

Ajoutez des parenthèses.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.6

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.8

Multipliez $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

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Étape 2.3.1.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.8.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.8.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 \sin (2 x)$ et $2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.4

Déplacez $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.5

Factorisez $4$ à partir de $4 \cos^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.6

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.8

Réorganisez les termes.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$4 \cdot 1 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 2.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Étape 3

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{1}$

Étape 3.5

Évaluez l’exposant.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (2 x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin (2 x) = 6 - 4$

Étape 4.2

Soustrayez $4$ de $6$ .

$4 \sin (2 x) = 2$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $4 \sin (2 x) = 2$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (2 x) = 2$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{2}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 10.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 10.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 10.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 10.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 10.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 10.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 11

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 11.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 12

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$ vrai.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$