Trigonométrie Exemples

$\tan (\arccos (\frac{x}{2}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\frac{x}{2}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}})$ , $(\frac{x}{2}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\frac{x}{2}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}})$ . Ainsi, $\tan (\arccos (\frac{x}{2}))$ est $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{2}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Étape 5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{2 + x}{2}$ par $\frac{2 - x}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Étape 6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(2 + x) (2 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}$

Étape 6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

Étape 6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}$

Étape 7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}$

Étape 10

Associez $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$