Trigonométrie Exemples

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Étape 2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $3 \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot 3 - 4 \sin^{3} (x)$

Étape 2.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$

Étape 2.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\sin (x) (3 - 4 (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)))$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

$\sin (x) (3 - 4 + 4 \cos^{2} (x))$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 \cos^{2} (x))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Étape 7.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Étape 7.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

Étape 7.2

Soustrayez $4 \sin (x)$ de $3 \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

Étape 8

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x))$

Étape 9.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 9.3

Supprimez les parenthèses.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Étape 9.4

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Étape 9.4.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Étape 9.4.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Étape 9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (- 1 + (4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 9.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Étape 9.7

Développez $(4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Étape 9.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Étape 9.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 9.8

Associez les termes opposés dans $4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 9.8.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 (- \sin (x))$ et $4 \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \sin (x) + 1 \cdot 4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 9.8.2

Additionnez $- 1 \cdot 4 \sin (x)$ et $1 \cdot 4 \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 0 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 9.8.3

Additionnez $4 \cdot 1$ et $0$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 9.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.9.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Étape 9.9.2

Multipliez $4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 9.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin (x) \sin (x))$

Étape 9.9.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Étape 9.9.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Étape 9.9.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 {\sin (x)}^{1 + 1})$

Étape 9.9.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin^{2} (x))$

Étape 9.10

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) - 4 \sin^{2} (x))$

Étape 9.11

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x)))$

Étape 9.12

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin^{2} (x)))$

Étape 9.13

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cos^{2} (x))$

Étape 9.14

Factorisez.

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Étape 9.14.1

Réécrivez $- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 9.14.1.1

Réécrivez $4 \cos^{2} (x)$ comme ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) (- 1 + {(2 \cos (x))}^{2})$

Étape 9.14.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sin (x) (- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2})$

Étape 9.14.1.3

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2})$

Étape 9.14.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 \cos (x)$ et $b = 1$ .

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1))$

Étape 9.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$(\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1) (2 \cos (x) - 1)$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x) - 1)$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13.1.2

Multipliez $2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Étape 13.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13.1.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 13.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 13.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1$

Étape 13.1.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)$

Étape 13.1.7

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Étape 13.2

Soustrayez $2 \sin (x) \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 0 - \sin (x)$

Étape 13.3

Additionnez $4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ et $0$ .

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$

Étape 14

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Étape 15.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Étape 15.1.3

Multipliez $\sin (x)$ par ${\sin (x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1.3.1

Déplacez ${\sin (x)}^{2}$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} \sin (x)) \cdot - 1 - \sin (x)$

Étape 15.1.3.2

Multipliez ${\sin (x)}^{2}$ par $\sin (x)$ .

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Étape 15.1.3.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1}) \cdot - 1 - \sin (x)$

Étape 15.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 - \sin (x)$

Étape 15.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{3} \cdot - 1 - \sin (x)$

Étape 15.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

Étape 15.2

Soustrayez $\sin (x)$ de $4 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

Étape 16

Appliquez l’identité d’angle triple du sinus.

$\sin (3 x)$

Étape 17

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ est une identité