Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 2.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Additionnez $\cos (x) \cos (x)$ et $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.4.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.4.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.4.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 2.4.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 2.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 2.5

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (2 x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ est une identité