Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1 = \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{1 - \sin (x)} - 1$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Étape 4.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun de $1 - \sin (x)$ .

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x) (1 - \sin (x))} - 1$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} - 1$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\sin (x)}$ comme $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\cos (x) \cot (x)}{1 - \sin (x)} - 1 = \csc (x)$ est une identité