Trigonométrie Exemples

$\sec (- 315 °)$

Étape 1

Réécrivez $- 315 °$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sec (\frac{- 630}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (\frac{- 630}{2})$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{- 630}{2})}$

Étape 3

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (- 630)}{2}}}$

Étape 4

Remplacez le $\pm$ par $+$ car la sécante est positive dans le premier quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (- 630)}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (- 630)}{2}}}$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $360$ ° jusqu’à ce que l’angle tombe entre $0$ ° et $360$ °.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}}$

Étape 5.1.2

La valeur exacte de $\cos (90)$ est $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}}$

Étape 5.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}}$

Étape 5.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 5.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Étape 5.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Étape 5.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Étape 5.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Étape 5.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Étape 5.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 5.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 5.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 5.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 5.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}$

Étape 5.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.7.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{2}$

Forme décimale :

$1.41421356 \dots$