Trigonométrie Exemples

$1 - \cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = \frac{1}{2} - 1$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \cos (x) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \cos (x) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \cos (x) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \cos (x) = \frac{1 - 2}{2}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 2.3.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$