Trigonométrie Exemples

\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) = 2 \csc (x)$

Étape 1

Soustrayez

2 \csc (x)

$2 \csc (x)$ des deux côtés de l’équation.

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x) = 0$

Étape 2

Factorisez

\csc (x)

$\csc (x)$ à partir de

\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)

$\sec (x) \csc (x) - 2 \csc (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez

\csc (x)

$\csc (x)$ à partir de

\sec (x) \csc (x)

$\sec (x) \csc (x)$ .

\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0

$\csc (x) \sec (x) - 2 \csc (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez

\csc (x)

$\csc (x)$ à partir de

- 2 \csc (x)

$- 2 \csc (x)$ .

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 2.3

Factorisez

\csc (x)

$\csc (x)$ à partir de

\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2

$\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \cdot - 2$ .

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Étape 4

Définissez

\csc (x)

$\csc (x)$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 4.1

Définissez

\csc (x)

$\csc (x)$ égal à

0

$0$ .

\csc (x) = 0

$\csc (x) = 0$

Étape 4.2

La plage de la cosécante est

y \leq - 1

$y \leq - 1$ et

y \geq 1

$y \geq 1$ . Comme

0

$0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

Définissez

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.1

Définissez

\sec (x) - 2

$\sec (x) - 2$ égal à

0

$0$ .

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$

Étape 5.2

Résolvez

\sec (x) - 2 = 0

$\sec (x) - 2 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

\sec (x) = 2

$\sec (x) = 2$

Étape 5.2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur de la sécante.

x = arcsec (2)

$x = arcsec (2)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de

arcsec (2)

$arcsec (2)$ est

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.2.4

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

2 π

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.2.5.1

Pour écrire

2 π

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.5.2.1

Associez

2 π

$2 π$ et

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.3.1

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 5.2.5.3.2

Soustrayez

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de

\sec (x)

$\sec (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction

\sec (x)

$\sec (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0

$\csc (x) (\sec (x) - 2) = 0$ vraie.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$