Trigonométrie Exemples

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

Étape 1

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ comme $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.2

Développez $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.3.3

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.4

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Étape 3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

Étape 3.5

Évaluez l’exposant.

$1 + \sin (2 x) = 2$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (2 x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) = 2 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\sin (2 x) = 1$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (1)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 9.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 2$ .

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Étape 9.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 9.1.4.2

Soustrayez $π$ de $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 10

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 10.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ et en résolvant.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$