Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.5.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.5.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.5.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.8

Multipliez $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.8.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Étape 1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Étape 1.12.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.12.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Étape 1.12.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Étape 1.12.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Étape 1.12.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 3.2

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Additionnez $- \sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.3

Additionnez $\sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$