Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) (- (1 + \sin (x)))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) (- (1 + \sin (x)))$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x) - (1 + \sin (x)))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x) - 1 \cdot 1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (1 - \sin (x) - 1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\sin (x) (0 - \sin (x) - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.5

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x) - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.6

Soustrayez $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot - 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.7

Associez les exposants.

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Étape 5.7.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.7.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \sin^{2} (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$