Trigonométrie Exemples

\sin (75)

$\sin (75)$

Étape 1

Divisez

75

$75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

\sin (30 + 45)

$\sin (30 + 45)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)

$\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)$

Étape 3

La valeur exacte de

\sin (30)

$\sin (30)$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)

$\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)$

Étape 4

La valeur exacte de

\cos (45)

$\cos (45)$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)$

Étape 5

La valeur exacte de

\cos (30)

$\cos (30)$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)$

Étape 6

La valeur exacte de

\sin (45)

$\sin (45)$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Simplifiez

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.1.1.1

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.1.1.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.1.2

Multipliez

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ par

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2.3

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2.4

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Forme décimale :

0.96592582 \dots

$0.96592582 \dots$