Trigonométrie Exemples

$\csc (75)$

Étape 1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\csc (30 + 45)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sec (30) \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Étape 3

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \sec (45) \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Étape 4

La valeur exacte de $\sec (45)$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \csc (30) \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Étape 5

La valeur exacte de $\csc (30)$ est $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \csc (45)}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Étape 6

La valeur exacte de $\csc (45)$ est $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\sec (30) \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Étape 7

La valeur exacte de $\sec (30)$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \csc (45) + \csc (30) \sec (45)}$

Étape 8

La valeur exacte de $\csc (45)$ est $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + \csc (30) \sec (45)}$

Étape 9

La valeur exacte de $\csc (30)$ est $2$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \sec (45)}$

Étape 10

La valeur exacte de $\sec (45)$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11

Simplifiez $\frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$ .

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} \sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.1.3

Associez $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{\sqrt{3} \sqrt{2}}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sqrt{2}$ .

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Étape 11.2.3.1

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2}{\sqrt{2}}}$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Étape 11.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Étape 11.2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Étape 11.2.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Étape 11.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Étape 11.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 11.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 11.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 11.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 11.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 11.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}}$

Étape 11.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 11.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 11.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.7

Pour écrire $2 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 11.2.8

Associez $2 \sqrt{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}}$

Étape 11.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3}}$

Étape 11.2.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{3 \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{6}$ en un radical unique.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 11.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.5.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.5.7

Associez $8$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{3}}$

Étape 11.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Étape 11.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Étape 11.7.2

Réécrivez l’expression.

$8 \sqrt{3} \frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Étape 11.8

Associez $\frac{1}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ et $8$ .

$\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}} \sqrt{3}$

Étape 11.9

Associez $\frac{8}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Étape 11.10

Annulez le facteur commun à $8$ et $2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}$ .

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Étape 11.10.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}$

Étape 11.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 6 \sqrt{2}}$

Étape 11.10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})}$

Étape 11.10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{6}) + 2 (3 \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})}$

Étape 11.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (\sqrt{6} + 3 \sqrt{2})}$

Étape 11.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$

Étape 11.11

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$

Étape 11.12

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}$

Étape 11.13

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{{\sqrt{6}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 11.14

Simplifiez

$\frac{4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 12}$

Étape 11.15

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 12$ .

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Étape 11.15.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})$ .

$\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{- 12}$

Étape 11.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3}$

Étape 11.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2}))}{4 \cdot - 3}$

Étape 11.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - 3 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 11.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 11.17

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 11.18

Multipliez $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{2})$ .

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Étape 11.18.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 3}$

Étape 11.18.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 11.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.19.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{18} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 11.19.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 11.19.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 11.19.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 11.19.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 11.20

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{6}$ et $- 3$ .

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Étape 11.20.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2}) - 3 \sqrt{6}}{- 3}$

Étape 11.20.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sqrt{6}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 11.20.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{6})$ .

$\frac{3 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 3}$

Étape 11.20.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Étape 11.21

Réécrivez $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ comme $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Étape 11.22

Appliquez la propriété distributive.

$- \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Étape 11.23

Multipliez $- - \sqrt{6}$ .

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Étape 11.23.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Étape 11.23.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Forme décimale :

$1.03527618 \dots$