Trigonométrie Exemples

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\sin^{4} (x)$ comme ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Étape 2.2

Réécrivez $\cos^{4} (x)$ comme ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin^{2} (x)$ et $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Étape 2.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Étape 2.5

Multipliez $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 4

Soustrayez ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 - 2 (1 - \sin^{2} (x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 \cdot 1 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2 - 2 (- {\sin (x)}^{2})$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$1 - 2 + 2 {\sin (x)}^{2}$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x)$

Étape 7

Réécrivez $- 1 + 2 \sin^{2} (x)$ comme $2 \sin^{2} (x) - 1$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = 2 \sin^{2} (x) - 1$ est une identité