Trigonométrie Exemples

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = {(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

${(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}^{2}$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez ${(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ comme $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.2

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.3.3.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.3.3.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.3.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Étape 2.3.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.3

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}$

Étape 2.3.3.1.4.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}$

Étape 2.3.3.1.4.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.3.1.4.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ de $- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 2 \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- 2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 2 + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.1.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.1.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) (- 2 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (x) (- 2 + \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \sin (x) \cdot - 2 + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.3

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.3.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Étape 3.3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 - \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à ${(1 - \sin (x))}^{2}$ et $1 - \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = {(\sec (x) - \tan (x))}^{2}$ est une identité