Trigonométrie Exemples

$(2, \frac{7 π}{4})$

Étape 1

Convertissez de coordonnées rectangulaires $(x, y)$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ à l’aide des formules de conversion.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 2

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de la coordonnée polaire.

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Étape 3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{4 + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 π}{4}$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $7 π$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.5

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.6

Associez $4$ et $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16 + 49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.7.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$r = \sqrt{\frac{64 + 49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{64 + 49 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{64 + 49 π^{2}}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.9.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 4

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Étape 5

La tangente inverse de $\frac{7 π}{8}$ est $θ = 70.0094872 °$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

$θ = 70.0094872 °$

Étape 6

C’est le résultat de la conversion en coordonnées polaires dans la forme $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}, 70.0094872 °)$