Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)} = 2 \tan (x) \sec (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Étape 2

Soustrayez des fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \sin (x) - (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \sin (x) - 1 \cdot 1 - - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - 1 - - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.3

Multipliez $- - \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - 1 + 1 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 3.4

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Développez $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme $2 \tan (x) \sec (x)$ .

$2 \tan (x) \sec (x)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{1}{1 + \sin (x)} = 2 \tan (x) \sec (x)$ est une identité