Trigonométrie Exemples

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = \cos (2 x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\cos^{4} (x)$ comme ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - \sin^{4} (x)$

Étape 2.2

Réécrivez $\sin^{4} (x)$ comme ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (x))}^{2} - {(\sin^{2} (x))}^{2}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos^{2} (x)$ et $b = \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 2.4

Réorganisez les termes.

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Étape 2.6

Multipliez $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 2.7

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x) = \cos (2 x)$ est une identité