Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.6

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 1.6.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.2

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.7.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.7.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{3} - 2$ et $8$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.9.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.9.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.9.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.9.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.9.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.10

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.11

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.11.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{8}$

Étape 1.12

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Étape 1.13

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Étape 1.14

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Étape 1.15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.15.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{4} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Étape 1.15.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Étape 1.15.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Étape 1.15.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{12}}{8}$

Étape 1.15.5

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.15.5.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{4 (3)}}{8}$

Étape 1.15.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{8}$

Étape 1.15.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.16

Annulez le facteur commun à $2 + 2 \sqrt{3}$ et $8$ .

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Étape 1.16.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Étape 1.16.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})}{8}$

Étape 1.16.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{8}$

Étape 1.16.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.16.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 (4)}$

Étape 1.16.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.16.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3} - 1 + 1 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.2

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + 1 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.3.2

Additionnez $0$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$0.86602540 \dots$