Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \sin (u)}{\cos (u)} + \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1 + \sin (u)}{\cos (u)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (u)}{1 + \sin (u)}$ .

$\frac{1 + \sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1 + \sin (u)}{1 + \sin (u)} + \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1 + \sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1 + \sin (u)}{1 + \sin (u)} + \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{\cos (u)}{\cos (u)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (u) (1 + \sin (u))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1 + \sin (u)}{\cos (u)}$ par $\frac{1 + \sin (u)}{1 + \sin (u)}$ .

$\frac{(1 + \sin (u)) (1 + \sin (u))}{\cos (u) (1 + \sin (u))} + \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{\cos (u)}{\cos (u)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ par $\frac{\cos (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{(1 + \sin (u)) (1 + \sin (u))}{\cos (u) (1 + \sin (u))} + \frac{\cos (u) \cos (u)}{(1 + \sin (u)) \cos (u)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sin (u)) \cos (u)$ .

$\frac{(1 + \sin (u)) (1 + \sin (u))}{\cos (u) (1 + \sin (u))} + \frac{\cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \sin (u)) (1 + \sin (u)) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(1 + \sin (u)) (1 + \sin (u))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + \sin (u)) + \sin (u) (1 + \sin (u)) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (u) + \sin (u) (1 + \sin (u)) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (u) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) \sin (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (u) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) \sin (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\sin (u)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (u) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) \sin (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\sin (u)$ par $1$ .

$\frac{1 + \sin (u) + \sin (u) + \sin (u) \sin (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $\sin (u) \sin (u)$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (u) + \sin (u) + \sin^{1} (u) \sin (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2.1.4.2

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sin (u) + \sin (u) + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \sin (u) + \sin (u) + {\sin (u)}^{1 + 1} + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \sin (u) + \sin (u) + \sin^{2} (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.2.2

Additionnez $\sin (u)$ et $\sin (u)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (u) + \sin^{2} (u) + \cos (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.3

Multipliez $\cos (u) \cos (u)$ .

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Étape 5.3.1

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{1} (u) \cos (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.3.2

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{1} (u) \cos^{1} (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + 2 \sin (u) + \sin^{2} (u) + {\cos (u)}^{1 + 1}}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{2} (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.4

Réécrivez $1 + 2 \sin (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{2} (u)$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 2 \sin (u) + 1}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 \sin (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \sin (u)$ .

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Étape 5.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (u)}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \sin (u)$ .

$\frac{2 (1 + \sin (u))}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $1 + \sin (u)$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \sin (u))}{\cos (u) (1 + \sin (u))}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\cos (u)}$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$

Étape 8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (u)}$ à $\sec (u)$ .

$\frac{2}{1} \sec (u)$

Étape 9

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \sec (u)$