Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Étape 2

Réécrivez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $b = \sin (x)$ .

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x))$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x))$

Étape 5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\tan (x) + \sin (x)) (\tan (x) - \sin (x))$

Étape 6

Développez $(\tan (x) + \sin (x)) (\tan (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) (\tan (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\tan (x) - \sin (x))$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\tan (x) - \sin (x))$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 7.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\tan (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7.1.2

Additionnez $- \sin (x) \tan (x)$ et $\sin (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7.1.3

Additionnez $\tan (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 7.2.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7.2.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Étape 7.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\tan^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Étape 7.2.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 7.2.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 7.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 7.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 7.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$