Trigonométrie Exemples

$3 \sin (x) - 2 \cos (x) = 1$

Étape 1

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 2

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{2}{3})$

Étape 3

Évaluez $\tan^{-1} (- \frac{2}{3})$ .

$θ = - 0.5880026$

Étape 4

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{9 + 4}$

Étape 4.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$R = \sqrt{13}$

Étape 5

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{13}) \sin (x - 0.5880026) = 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026) = 1$ par $\sqrt{13}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026) = 1$ par $\sqrt{13}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026)}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{13}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{13} \sin (x - 0.5880026)}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\sin (x - 0.5880026)$ par $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 6.3.2.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Étape 6.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 6.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 6.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13^{1}}$

Étape 6.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x - 0.5880026) = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x - 0.5880026 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{13}}{13})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

Évaluez $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{13}}{13})$ .

$x - 0.5880026 = 0.2810349$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Ajoutez $0.5880026$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 0.2810349 + 0.5880026$

Étape 9.2

Additionnez $0.2810349$ et $0.5880026$ .

$x = 0.8690375$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x - 0.5880026 = (3.14159265) - 0.2810349$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Soustrayez $0.2810349$ de $3.14159265$ .

$x - 0.5880026 = 2.86055775$

Étape 11.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.2.1

Ajoutez $0.5880026$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2.86055775 + 0.5880026$

Étape 11.2.2

Additionnez $2.86055775$ et $0.5880026$ .

$x = 3.44856035$

Étape 12

Déterminez la période de $\sin (x - 0.5880026)$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13

La période de la fonction $\sin (x - 0.5880026)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.8690375 + 2 π n, 3.44856035 + 2 π n$ , pour tout entier $n$