Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ)$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (2 θ)$ et $b = \sin (2 θ)$ .

$(\cos (2 θ) + \sin (2 θ)) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$

Étape 2

Développez $(\cos (2 θ) + \sin (2 θ)) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 θ) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \cos (2 θ) (- \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) (\cos (2 θ) - \sin (2 θ))$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \cos (2 θ) (- \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les termes opposés dans $\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \cos (2 θ) (- \sin (2 θ)) + \sin (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$ .

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Étape 3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (2 θ) (- \sin (2 θ))$ et $\sin (2 θ) \cos (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) - \cos (2 θ) \sin (2 θ) + \cos (2 θ) \sin (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3.1.2

Additionnez $- \cos (2 θ) \sin (2 θ)$ et $\cos (2 θ) \sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + 0 + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3.1.3

Additionnez $\cos (2 θ) \cos (2 θ)$ et $0$ .

$\cos (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\cos (2 θ) \cos (2 θ)$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $\cos (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (2 θ) \cos (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3.2.1.2

Élevez $\cos (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (2 θ) \cos^{1} (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (2 θ)}^{1 + 1} + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) (- \sin (2 θ))$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (2 θ) - \sin (2 θ) \sin (2 θ)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- \sin (2 θ) \sin (2 θ)$ .

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Étape 3.2.3.1

Élevez $\sin (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) - (\sin^{1} (2 θ) \sin (2 θ))$

Étape 3.2.3.2

Élevez $\sin (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) - (\sin^{1} (2 θ) \sin^{1} (2 θ))$

Étape 3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (2 θ) - {\sin (2 θ)}^{1 + 1}$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ)$

Étape 4

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 (2 θ))$

Étape 5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (4 θ)$