Trigonométrie Exemples

$\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 6) (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1.2

Développez $(x - 6) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (x - 5) - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} - 5 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 5$ .

$\ln (x^{2} - 5 x - 6 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 5 x$ .

$\ln (x^{2} - 11 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - 11 x + 30 = 16 - 2 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 11 x + 30 + 2 x = 16$

Étape 3.1.2

Additionnez $- 11 x$ et $2 x$ .

$x^{2} - 9 x + 30 = 16$

Étape 3.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 9 x + 30 - 16 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $16$ de $30$ .

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - 9 x + 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $14$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 7, - 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 7, 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$ vrai.

$x = 7$