Trigonométrie Exemples

tan (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

$\tan (x) \sin (x) + \cos (x) = \sec (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

tan (x) sin (x) + cos (x)

$\tan (x) \sin (x) + \cos (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez

tan (x)

$\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

\frac{sin (x)}{cos (x)} sin (x) + cos (x)

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x) + \cos (x)$

Étape 2.2

Multipliez

\frac{sin (x)}{cos (x)} sin (x)

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Étape 2.2.1

Associez

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{sin (x) sin (x)}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 2.2.2

Élevez

sin (x)

$\sin (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) sin (x)}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 2.2.3

Élevez

sin (x)

$\sin (x)$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x)}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{{sin (x)}^{1 + 1}}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 2.2.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

\frac{{sin}^{2} (x)}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

\frac{{sin}^{2} (x)}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

\frac{1 - {cos}^{2} (x)}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{1^{2} - {cos (x)}^{2}}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

a = 1

$a = 1$ et

b = cos (x)

$b = \cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \cos (x)$

\frac{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}{cos (x)} + cos (x)

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \cos (x)$

Étape 4.2

Pour écrire

cos (x)

$\cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{cos (x)}{cos (x)}

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}{cos (x)} + \frac{cos (x) cos (x)}{cos (x)}

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{(1 + cos (x)) (1 - cos (x)) + cos (x) cos (x)}{cos (x)}

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Réécrivez

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ comme

sec (x)

$\sec (x)$ .

sec (x)

$\sec (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

tan (x) sin (x) + cos (x) = sec (x)

$\tan (x) \sin (x) + \cos (x) = \sec (x)$ est une identité