Trigonométrie Exemples

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)} = 2 csc (x)

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2

Additionnez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} \cdot \frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)} \cdot \frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

(1 - cos (x)) (1 + cos (x))

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

1

$1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez

\frac{sin (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ par

\frac{1 + cos (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

\frac{sin (x) (1 + cos (x))}{(1 - cos (x)) (1 + cos (x))} + \frac{sin (x)}{1 + cos (x)} \cdot \frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez

\frac{sin (x)}{1 + cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ par

\frac{1 - cos (x)}{1 - cos (x)}

$\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

\frac{sin (x) (1 + cos (x))}{(1 - cos (x)) (1 + cos (x))} + \frac{sin (x) (1 - cos (x))}{(1 + cos (x)) (1 - cos (x))}

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.1.2

Multipliez

$\sin (x)$ par

$1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.1.4

Multipliez

$\sin (x)$ par

$1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.2

Additionnez

$\sin (x)$ et

$\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.3

Additionnez

$\sin (x) \cos (x)$ et

$\sin (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 3.3.1

Remettez dans l’ordre

$\sin (x)$ et

$- 1$ .

$\frac{2 \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.3.2

Soustrayez

$\sin (x) \cos (x)$ de

$\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 3.4

Additionnez

$2 \sin (x)$ et

$0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à

$\sin (x)$ et

${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Étape 7

Réécrivez

$\frac{2}{\sin (x)}$ comme

$2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Étape 8

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ est une identité