Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (x) (1 + \cos (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 + \cos (x)) \sin (x)}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + \cos (x)) + \cos (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.5.2.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) + \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.5.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.4

Réécrivez $1 + 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 2.5.4.1

Réorganisez les termes.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.4.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + 2 \cos (x) + 1}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \cos (x)$ .

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Étape 2.5.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.5.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $1 + \cos (x)$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{\sin (x) (1 + \cos (x))}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sin (x)}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{2}{\sin (x)}$ comme $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ est une identité