Trigonométrie Exemples

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.3

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.6.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.4

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.6.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.6.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin (x) + 1}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $\sin (x) + 1$ et $1 + \sin (x)$ .

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Étape 2.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$ est une identité